Министерство образования и науки Российской Федерации 
Институт ЮНЕСКО по информационным технологиям в образовании
Институт проблем информатики Российской Академии наук
Федеральный институт развития образования
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования
Автономная некоммерческая организация
«Информационные технологии в образовании»
Российский государственный гуманитарный университет
Международный институт новых образовательных технологий
III Международная научно-практическая конференция
«Инновации в информационных технологиях и образовании»
«ИТО-Москва-2014»
4 - 5 декабря 2014 года, г. Москва

Различные интерпретации решения уравнений с комплексными переменными

Авторы: Белорукова Марина Васильевна 1, Овчинникова Раиса Петровна 2
1 Муниципальное Бюджетное Образовательное Учреждение Муниципального Образования «Город Архангельск» «Средняя Общеобразовательная Школа №8», 2 г. Архангельск, САФУ имени М. В. Ломоносова, кафедра экспериментальной математики и информатизации образования, доцент
В статье описан опыт авторов по использование ИГС GeoGebra на уроках математики, что позволяет находить новые нестандартные способы решения математических задач. Приведен пример урока применения новых знаний «Решение уравнений с комплексными переменными», целью которого является формирование умений решать уравнения с комплексными переменными разными способами.

Согласно новым ФГОС среднего (полного) общего образования [1] среди требований к предметным результатам освоения математики имеются: 

  • владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
  • использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств базового курса (на базовом уровне); 
  • умение находить нестандартные способы решения задач (на углубленном уровне). 

Одним из средств, обеспечивающим выполнение перечисленных требований, являются интерактивные геометрические среды (ИГС), которые представляют собой программное обеспечение, позволяющее выполнять геометрические построения на компьютере. Их использование при обучении математике нацелено на развитие образного мышления и творчества учащихся. Главным достоинством таких программ является возможность создания динамических чертежей, которые делают видимыми динамическую устойчивость и изменчивость свойств геометрических фигур. Кроме того, использование ИГС на уроках математики позволяет находить новые нестандартные способы решения математических задач. 

Покажем это на примере урока применения новых знаний «Решение уравнений с комплексными переменными», целью которого является формирование умений решать уравнения с комплексными переменными разными способами. Задачами урока являются: показ алгебраического способа решения уравнений на основе определения модуля комплексного числа, открытие ГМТ решений уравнений с комплексными переменными с использованием ИГС GeoGebra; формирование у учащихся умений учебно-исследовательской и проектной деятельности; формирование умений работать в группе. В структуре урока выделены следующие этапы:

Организационный момент. На этом этапе учащиеся ставят цель, формулируют тему урока. Этим процессом руководит учитель с помощью учебного диалога. 

Актуализация знаний и умений учащихся. Этот тап реализуется с помощью решения проблемы по проверке решения двух уравнений:

|x|=|2x+3|, x € R; x=±(2x+3); x1=-1;   x2=-3

|z+3∙i|= |z+4|, z € C; z+3∙i= ±(z+4); 3∙i=4 или  2z=-3i-4; z = –1,5i – 2.

Решая проблему, учащиеся отвечают на вопросы: верно ли решено второе уравнение? Где и почему допущена ошибка? Каков характер допущенной ошибки? Можно ли переносить способы решения уравнений вида |  |=|  | из действительных чисел на комплексные? В ходе диалога учащиеся приход к выводу, что для решения уравнений с комплексными переменными вида |  |=|  | потребуется знание геометрического смысла модуля комплексного числа. Учащимся предлагаются соответствующие задания из [3 – 4].

Постановка задания для групп и его решение. Учащимся предлагается сравнить задания и установить форму представления ответа: 1) Найдите все комплексные числа, удовлетворяющие равенству: |z+3∙i|= |z+4|. 2) Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел z, удовлетворяющих уравнению: |z+3∙i|= |z+4|. 3) Найдите геометрическое место точек, удовлетворяющих заданному условию |z+3∙i|= |z+4|.

Для нахождения способа решения уравнения класс делится на три группы. Одна из групп для решения поставленного перед ней задания использует ИГС GeoGebra. Представим это решение. Изобразим на комплексной плоскости множество всех чисел z, удовлетворяющих условиям |z+3∙i|=r и |z+4|=r. Это будут окружности радиусом r с центрами в точках A (0; –3) и B(–4; 0). Построим пересечение окружностей – точки С и D. Построим ГМТ, описывающее построенными точками, используя инструмент След. Так как точка С равноудалена от концов отрезка по построению ВС = АС = r, то она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Строим серединный перпендикуляр с помощью соответствующего инструмента и убеждаемся, что он совпадает с построенным следом (рис.1).

 
  
 
Рис. 1. Геометрическая интерпретация решения уравнения |z+3∙i|= |z+4|
 

Защита решений и их проверка. На этом этапе каждая группа представляет результат своей деятельности: 1 группа – комплексное число вида

z=x+(4/3x+7/6)i, 2 группа – график линейной функции y=  4/3 x+  7/6, 3 группа – серединный перпендикуляр к отрезку AB, где A(0; –3) и B(–4; 0). Правильность решений проверяется в ИГС: уравнение серединного перпендикуляра находится в окне объектов и сравнивается с результатом, полученным группами 1 и 2. Подчеркиваем, что в данном случае получаем приближенные значения коэффициентов и ставим задачу нахождения уравнения серединного перпендикуляра. Решая задачу аналитически, ученики приходят к тому же самому результату (рис.2).

 
 
Рис. 2. Проверка решения уравнения |z+3∙i|= |z+4| в ИГС
 

При подведении итогов работы групп выявляется роль ИГС в решении уравнения – нахождение нового способа решения уравнения |z-z1 |= |z-z2 |   как ГМТ. Решением является серединный перпендикуляр к отрезку с концами в точках, заданных комплексными числами z1 и z2.

Закрепление способов решения происходит в форме самостоятельного решения уравнения |z+4-2i|= |z+2-5i| любым аналитическим способом, без использования ИГС. 

Исследовательская работа и защита решений. На этом этапе происходит переход от частного случая уравнения к более общему виду. Выдвигаются новые гипотезы, проверка которых выполняется в группах. Происходит смена деятельности групп: группы 1 и 2 решают уравнение с помощью ИГС, а группа 3 – аналитически.

Рассмотрим решение уравнения |z-3i|=√2 |z-6| в ИГС. Изобразим на комплексной плоскости множество всех чисел z, удовлетворяющих условиям |z-3∙i|=r и |z-6|=r/√2. Это – окружность с центром в точке z1 (0; 3) радиусом r и окружность с центром в точке z2(6; 0) радиусом r/√2 . Обозначим точки пересечения окружностей А и В. Построим множество всех чисел z, удовлетворяющих данному уравнению, используя инструмент Локус. Множеством всех чисел z, удовлетворяющих данному уравнению, является кривая, похожая на окружность. Возьмем на локусе точку С и построим окружность по трём точкам А, В и С.  Замечаем, что окружность совпала с локусом (рис 3).

Найдем ее центр с помощью построения точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам АВ и ВС. Получим точку D(12; –3). Радиус окружности находим измерением: r ≈ 9,5.

 
 
Рис. 3. Компьютерное решение уравнения |z-3i|=√2 |z-6|  
 

Аналитическое решение уравнения третьей группой дает следующий ответ: (x-12)2+(y+3)2=90 – уравнение окружности с центром в точке (12; –3) и радиусом, равным 3√10. Вывод: обе группы получили ГМТ – окружность, центры окружностей совпали, радиусы окружностей тоже: 3√10  ≈ 9,5. Однако, решая задачу в ИГС, нельзя найти точное значение радиуса и центра окружности. Поэтому вопрос о связи между данными точками, центром и радиусом полученной окружности остаётся открытым.  

Подведение итогов урока. При подведении итогов урока учащиеся отвечают на вопросы: что является множеством решений уравнений вида |z-z1 |=k |z-z2 | при k = 1? k ≠ 1? можно ли утверждать, что если k не равняется 1, то множеством всех чисел z, удовлетворяющих данному уравнению, является окружность? Как вы думаете, каким множеством точек будет являться решение данного уравнения при k  неравным 1?

Домашнее задание носит вариативно-дифференцированный характер. Вариант 1 – изобразить на координатной плоскости множество чисел z, удовлетворяющих уравнениям из [2–4], вариант 2 – построить модель для исследования вида ГМТ решений уравнения |z-z1 |=k |z-z2 |,  k € R,  z1,z2∈C, индивидуально – подготовить сообщение об окружности Аполлония и Аполлонии Пергском, для сообразительных – изобразить на координатной плоскости множество чисел z, удовлетворяющих неравенству из [2].

Здесь же можно выйти на исследовательскую работу для отдельных учащихся: исследовать множество решений уравнения вида: |z-z1 |= k|z-z2|, k € R, z1,z2∈C  с использованием ИГС и без неё; вывести формулы для вычисления радиуса и центра окружности; рассмотреть исторический аспект решения задачи об окружности Аполлония. 

Итак, в разработке данного урока использовался методический приём конструирования комплекса задач с одинаковым условием и разными требованиями, решения которых могут быть представлены в различных интерпретациях. Способом решения одной из задач комплекса предполагается использование ИГС GeoGebra. Различные интерпретации ответов комплекса задач сравниваются и доказывается их непротиворечивость.

Для организации решения таких задач наиболее удобными являются:

  • работа 3–4 групп;
  • деление класса на две группы: теоретики и практики, где теоретики решают задачу аналитически, практики – с использованием ИГС. 

Данный приём является универ сальным и его можно использовать, например, при решении уравнений с параметрами, решении геометрических задач на поиск ГМТ методом координат и др.

Список использованных источников
  1. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования. Утвержден приказом Минобрнауки России от 17 мая 2012 г. № 413. Режим доступа: минобрнауки.рф/документы/2365 (дата обращения 20.10.2014).
  2. Глазков Ю.А. Комплексные числа. 9–11 классы. – М.: Изд-во «Экзамен», 2012. – 157 с.
  3. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. Алгебра и начала математического анализа 10 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2010. – 342 с.
  4. Нелин Е.П., Лазарев В.А. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни. – М.: Илекса, 2011. – 432 с.
Вид представления доклада  Публикация
Уровень  Среднее (полное) общее образование
Ключевые слова  Уравнения с комплексными переменными; Интерактивная геометрическая среда (ИГС) GeoGebra

В статусе «Черновик» Вы можете производить с тезисами любые действия.

В статусе «Отправлено в Оргкомитет» тезисы проходят проверку в Оргкомитете. Статус «Черновик» может быть возвращен тезисам либо если есть замечания рецензента, либо тезисы превышают требуемый объем, либо по запросу участника.

В статусе «Рекомендован к публикации» тезис публикуется на сайте. Статус «Черновик» может быть возвращен либо по запросу участника, либо при неоплате публикации, если она предусмотрена, либо если тезисы превышают требуемый объем.

Статус «Опубликован» означает, что издана бумажная версия тезиса и тезис изменить нельзя. В некоторых крайне редких ситуацих участник может договориться с Оргкомитетом о переводе тезисов в статус «Черновик».

Статус «Отклонен» означает, что по ряду причин, которые указаны в комментариях к тезису, Оргкомитет не может принять тезисы к публикации. Из отклоненных тезис в «Черновики» может вернуть только Председатель программного или председатель оргкомитета.